Vettore di magnetizzazione
Abbiamo visto il fenomeno della risonanza per ogni singolo protone , consideriamo ora l’effetto risultante dalla combinazione di più atomi di idrogeno. In assenza di un campo magnetico esterno i protoni dell’ idrogeno hanno spin orientati in maniera casuale e indipendente tra di loro ma in presenza di un forte campo magnetico B i loro momenti magnetici tendono a orientarsi in modo parallelo o antiparallelo rispetto a B. In base alla meccanica quantistica, si avrà un leggero eccesso di momenti magnetici lungo una direzione rispetto ad un’altra, in particolare si avrà un maggior numero di atomi con il momento magnetico parallelo al campo magnetico esterno (I=1/2).
Spin disallineati in assenza di una campo magnetico esterno
Spin allineati ad un campo magnetico esterno B
Chiamiamo N1 la popolazione di nuclei con spin orientato secondo il verso di B, E1 il livello energetico corrispondente, e N2 la popolazione di nuclei con spin antiparallelo a B, E2 il loro livello energetico. N1 è superiore a N2 , mentre E1 è minore di E2 . Possiamo sfruttare la legge di distribuzione di Boltzmann per conoscere la distribuzione degli atomi:
N2 / N1 = e-ΔE / K °T
dove K è la costante di Boltzmann, °T è la temperatura assoluta e ΔE = E2- E1 è la differenza di energia tra i due livelli.
Osservando la legge di Boltzmann si evince che il caso limite N1=N2 si può ottenere solo per valori infiniti della temperatura del sistema di spin il che equivale alla mancanza di equilibrio termodinamico tra il sistema di spin e l’ambiente (reticolo): in questo caso il sistema di spin acquisisce un accumulo di energia che viene ceduto al reticolo (ambiente circostante) secondo le leggi della termodinamica.
Si definisce vettore di magnetizzazione M la somma vettoriale di tutti i momenti magnetici µ dei singoli atomi sottoposti ad un campo magnetico esterno B per unità di volume:
M= Σμ/V
Vettore di magnetizzazione
Per effetto di B, M tende a ruotare e a variare in modulo seguendo un’evoluzione temporale proporzionale al prodotto vettoriale tra M e B:
dM/dt=γ M x B
dove γ è una costante chiamata rapporto giromagnetico.
Scomponendo l’equazione vettoriale si ottengono tre equazioni scalari:
dMx/dt= γ (MyBz-MzBy)
dMy/dt= γ (MzBx-MxBz)
dMz/dt= γ (MxBy-MyBx)
Queste equazioni non tengono conto di un fattore importante detto rilassamento, ossia la tendenza del sistema di spin a tornare all’equlibrio termico attraverso scambi di energia e di momento con l’ambiente circostante (reticolo). Tale effetto è incluso nelle equazioni di Bloch, dette fenomenologiche in quanto dedotte dall’osservazione empirica del fenomeno:
dMx/dt= γ (MyBz – MzBy) – Mx/T2
dMy/dt= γ (MzBx – MxBz) – My/T2
dMz/dt= γ (MxBy – MyBx) – (Mz-Mo)/T1
T2e T1 sono costanti di tempo chiamate rispettivamente tempo di rilassamento trasversale (o di rilassamento spin-spin) e tempo di rilassamento longitudinale (o di rilassamento spin-reticolo). T2 indica il tempo necessario affinché la componente di magnetizzazione trasversale si annulli per effetto delle interazioni tra i momenti magnetici dei singoli nuclei che portano gli spin atomici a perdere di coerenza e quindi a sfasarsi.
T1 indica il tempo durante il quale la componente longitudinale della magnetizzazione torna al suo valore iniziale di equilibrio in virtù dei trasferimenti di energia che avvengono tra il sistema di spin ed il resto dell’ambiente. Bloch osservò che la magnetizzazione torna all’equilibrio termico con una cinetica di recupero esponenziale.
Precessione della magnetizzazione
Consideriamo le equazioni di Bloch applicate ad un sistema di spin nucleari o protonici. Nel caso in cui i tempi di rilassamento T1e T2di detto sistema siano molto lunghi si può trascurare l’effetto dell’interazione spin-reticolo, pertanto le equazioni si semplificano:
dMx/dt = γ (MyBz-MzBy)
dMy/dt = γ (MzBx-MxBz)
dMz/dt = γ (MxBy-MyBx)
Se il campo magnetico B è statico ed ha solo una componente lungo l’asse z (Bx = By = 0) le equazioni si riducono a:
dMx/dt = γ MyBz
dMy/dt = – γ MxBz
dMz/dt = 0
Derivando la prima equazione rispetto al tempo e accoppiandola alla seconda si ottiene:
d2Mx/dt2 = γ dMy/dt Bz = – γ2 MxBz2
Per risolvere questa equazione differenziale lineare omogenea occorre scegliere il valore di Mx e My al tempo zero. Possiamo scegliere gli assi x e y in modo tale che al tempo zero si abbiano:
Myo=0
Mxo ≠0
In questo caso si hanno:
Mx=Mxocos ωot
My=Mxosin ωot
dove ωo= γBz
Da tali relazioni si deduce che il vettore di magnetizzazione ruota attorno all’asse del campo magnetico (assunto lungo la direzione z), con una frequenza angolare pari a ωo= γBz .Tale moto è noto con il nome di precessione e indica la tendenza del vettore M ad allinearsi a B.
Rilassamento
La rilevazione di M si può ottenere perturbando B con un piccolo campo magnetico oscillante Bosc, ottenibile con un segnale a radiofrequenza. Dalla combinazione vettoriale di B (campo di polarizzazione) e Bosc (campo di eccitazione ) si ottiene un campo magnetico complessivo oscillante con per cui anche M oscilla eseguendo una precessione rispetto al campo magnetico di partenza B. L’angolo di rotazione di M rispetto a B è detto flip angle (α) e dipende dall’energia assorbita dai nuclei e quindi dall’intensità e dalla durata del campo perturbante Bosc. Il flip angle può assumere valori diversi in base alla frequenza del campo oscillante e alla sua durata. Ci sono due casi particolari utili nelle indagini di risonanza magnetica: l’impulso a 90° (α =90°) e l’impulso a 180° detto anche impulso di inversione o impulso pigreco (α=180°). In quest’ultimo caso una parte dei nuclei della popolazione N1 acquista una quantità di energia tale da far cambiare direzione ai propri momenti magnetici μ. In generale si può affermare che l’applicazione di un campo perturbante fa sì che gli atomi acquistino un eccesso energetico correlato a un’alterazione di M. Terminata la perturbazione avviene il rilassamento, ossia si ristabilisce l’equilibrio termico di partenza tra gli spin degli atomi e il campo magnetico principale, mentre il vettore M tende nuovamente ad allinearsi a B.
Una misura di M si può ottenere in laboratorio ponendo una fiala contenente acqua in un forte campo magnetico B (ortogonalmente ad esso) e avvolgendola con una piccola bobina percorsa da una corrente velocemente variabile gestita da un oscillatore. Per la legge dell’induzione magnetica la corrente che attraversa la bobina genera un campo magnetico che, al variare della corrente, oscilla con frequenze angolari ωo diverse. Si collega poi al sistema un oscilloscopio (ricevitore a radiofrequenza) per registrare le risposte dei protoni alle sollecitazioni. Quando il campo magnetico generato dalla bobina è tale per cui ωo = ωprotone si ha la risonanza: molti protoni tendono a capovolgersi assorbendo energia, le variazioni della componente trasversale di M si vanno a concatenare alla bobina, inducendo in essa una piccola forza elettromotrice che oscilla alla frequenza di Larmor e all’oscilloscopio appare un picco di segnale.
