FID e Spazio K

FID

La variazione temporale del vettore di magnetizzazione M dà luogo a un flusso magnetico variabile che, a sua volta, secondo la legge di Faraday, induce una forza elettromotrice e quindi un flusso di campo elettrico. Se tale flusso elettrico attraversa una bobina detettrice (antenna), di perimetro l e superficie s, in essa compare una tensione V(t) data da:

V(t) = ∫_l E∙dl= – d/dt ∫_sB∙ds

Dove il primo termine indica un integrale su linea chiusa e il secondo un integrale di superficie. La tensione V(t) può essere amplificata e demodulata per ottenere il segnale di risonanza magnetica nucleare, detto FID, Free Induction Decay (segnale di induzione libera). Il FID contiene tutte le informazioni del sistema di spin essendo la Trasformata di Fourier dello spettro di assorbimento dei protoni. Vediamo in che modo di ottiene il FID e come da esso si risale all’immagine finale.

Gradienti di campo magnetico

Tutti i moti periodici, e quindi anche la precessione dei protoni e del vettore di magnetizzazione, sono descritti da tre parametri: ampiezza, frequenza di oscillazione e fase. Questi tre elementi forniscono, in risonanza magnetica, informazioni circa la densità protonica e la posizione dei protoni nel volume di campione studiato.

Applicando, oltre al campo magnetico statico, campi oscillanti (creati con impulsi RF) e campi magnetici di bassa intensità, variabili linearmente, detti gradienti, si ottengono delle variazioni del segnale protonico in termini di frequenza e fase utili per ricostruire l’immagine finale.

I gradienti impiegati sono: gradiente di selezione della sezione (Gs), gradiente di codifica di frequenza (gradiente di imaging, Gf), gradiente di codifica di fase (Gp). Il primo tipo di gradiente consente di scomporre il volume campione in fette (slice) di spessore desiderato, mentre i due gradienti di codifica, ortogonali tra loro, individuano la posizione dei protoni nella sezione sulla base della loro frequenza e della loro fase.

Nella metodica RM sono impiegati anche degli impulsi RF che hanno l’effetto di ruotare M di angoli desiderati, citiamo tra questi il così detto impulso П/2 che fa ruotare di 90° la magnetizzazione, e l’impulso П, detto impulso di rifocalizzazione delle fasi, che, ruotando di 180° il vettore di magnetizzazione, riporta in fase gli spin che, per effetto della precessione e delle disomogeneità del materiale (effetto T2*), si erano sfasati.

Codifica spaziale

La selezione della fetta viene effettuata associando ad un impulso rf (B_osc ) il così detto gradiente di selezione della sezione Gs. L’effetto di tale gradiente è quello di modificare il campo magnetico complessivo e, conseguentemente, la frequenza di Larmor dei protoni della fetta eccitata, essendo:

f = γ_Beff = γ (B + B_osc+ Gs ) frequenza di Larmor

Sapendo in quale area del volume è stato applicato il gradiente e misurando il segnale di ritorno è possibile assegnare al segnale una posizione nel campione e, nello stesso tempo, avere una misura della densità protonica in una ben precisa fetta del materiale. Lo spessore della slice selezionata dipende dall’intensità del gradiente di selezione Gs e dal range di frequenze (banda) dell’impulso RF: esso è direttamente proporzionale alla banda e inversamente proporzionale all’intensità del gradiente.

Codifica di frequenza e di fase

Consideriamo una slice eccitata: di essa vogliamo ottenere una rappresentazione in termine di fase e frequenza protonica.

Se la slice si trova sul piano xy si può pensare di applicare un gradiente Gf, detto gradiente di codifica di frequenza, lungo l’asse x . In tal modo si producono delle variazioni in frequenza lungo x, tali non incidere sul segnale misurato in termini di ampiezza.

Lungo la direzione di Gs si hanno variazioni di frequenza

Facendo seguire il gradiente di codifica delle frequenze da un gradiente di codifica delle fasi Gp, orientato lungo y, ripetuto più volte con ampiezze diverse, si crea uno shift delle fasi lungo y. Gp deve essere preceduto, a sua volta, da un impulso di rifocalizzazione delle fasi (gradiente П).

Lungo Gp si hanno variazioni delle fasi

Grazie ai gradienti di codifica, pertanto, ogni protone della slice eccitata viene descritto da una coppia di numeri indicanti la sua fase e le sua frequenza, tali numeri costituiscono insieme un numero complesso e possono essere raccolti in uno spazio 2D detto spazio k.

Spazio k

Lo spazio k è uno spazio geometrico bidimensionale in cui ogni elemento è costituito da un numero complesso (Ae^φ+jωt= Re + jIm), rappresentato da una frequenza ω e una fase φ (A=ampiezza). Ogni riga è relativa alla frequenza, ogni colonna invece dà informazioni sulla fase.

Spazio k

Non c’è una corrispondenza diretta tra lo spazio k e lo spazio fisico. Nel k spazio i dati di ogni eco sono organizzati in base al loro contenuto informativo: i punti a maggior contrasto (ottenuti con gradienti di codifica di fase deboli) si trovano al centro, i punti con livello di dettaglio fine (ottenuti con forti gradienti di fase) si collocano nella zona periferica. Al crescere del tempo, il segnale evolve descrivendo una traiettoria nello spazio k, quindi con opportuni gradienti è possibile fare in modo che il segnale segua una traiettoria desiderata.

Se fosse possibile utilizzare tutti i punti dello spazio k potremmo risalire con esattezza all’immagine finale utilizzando una Trasformata di Fourier bidimensionale. In realtà gli elementi dello spazio k vengono campionati, demodulati e digitalizzati per cui il processore del sistema RM esegue una Trasformata di Fourier discreta e bidimensionale, discreta perché i dati da elaborare sono digitali (bit) e bidimensionale perché viene eseguita dapprima lungo l’asse di codifica delle fasi e successivamente lungo l’asse di codifica delle frequenze per la parte reale e quella immaginaria dello spazio k. Le informazioni ricavate da queste elaborazioni consentono di calcolare l’ampiezza del segnale la cui rappresentazione grafica corrisponde all’immagine finale.

Lo spazio k viene campionato: solo le righe bianche vengono usate per creare l’immagine.

Re(spazio k) Im(spazio K)

Trasformata di Fourier (FT) 2D

Dalle due coppie di FT si ricava l’immagine finale

Risoluzione dell’immagine

Durante l’applicazione del gradiente di codifica in frequenza, Gf, si ottiene il campionamento di una linea dello spazio k, più precisamente abbiamo:

k_x= γ Gf t_f (unità di misura: rad/m)

dove γ è il rapporto giromagnetico, Gf il modulo del gradiente di codifica di frequenza, e t_f indica il tempo di applicazione di Gf

Per ottenere altre righe dello spazio k occorre applicare un gradiente di codifica di fase, Gp, preceduto dall’impulso П. Le coordinate k_y dello spazio k sono pertanto:

k_y= γGpT_p

dove T_p indica la durata del gradiente di codifica di fase, Gp è il modulo del gradienteGp

La risoluzione (Δk_x , Δk_y) con cui si osserva lo spazio k dipende dalla velocità di campionamento del segnale: aumentando la velocità , a parità di tempo, si ottengono più dati ravvicinati tra loro. Solitamente il range in cui lo spazio viene campionato (nel caso di eco simmetrica) è dato da:

– γ/2 Gf t_f ≤ k_x ≤ γ/2 Gf t_f

– γ/2GpT_p ≤ k_y ≤ γ/2GpT_p

Tale limitazione serve a garantire tempi di acquisizione contenuti, occupazione di memoria del processore limitata, oltre che il campionamento di un segnale poco rumoroso.

L’immagine derivante dal campionamento dello spazio k ha una dimensione data dal così detto FOV (field of view), range di ricostruzione dell’immagine, ed è costituita da una matrice di elementi detti pixel . La risoluzione del FOV dipende da come viene effettuato il campionamento. Più precisamente:

FOV_x= 2П/ Δk_x

FOV_y= 2П/ Δk_y

Da ciò si desume che a campionamenti fini corrispondono FOV grandi e, viceversa, se si riduce il FOV aumenta la distanza tra i campioni dello spazio k. Come abbiamo già detto, durante l’applicazione del gradiente di codifica di frequenza viene campionata una riga dello spazio k (corrispondente ad una eco), per cui ogni elemento campionato k_x ad un generico tempo t è dato da:

k_x= ∫0tγGf(t) dt

da cui:

Δk_x= γGfΔt = incremento di kx nel tempo Δt (Gf costante, Δt = tempo di campionamento)

La risoluzione lungo x dipende pertanto dall’intensità del gradiente di codifica di frequenza e dal tempo di campionamento. Se i campioni sono N, il range di campionamento è dato da N Δk_x, inoltre se gli N campioni sono punti equispaziati nel FOV, la risoluzione nella direzione della codifica delle frequenze è:

Δx = 2П/(N γGfΔt)

Per ottenere una buona risoluzione spaziale lungo x occorrono molti campioni (N), tempi di campionamento lunghi (Δt ) e gradienti Gf intensi .

Nell’imaging basato sulla trasformata di Fourier 2D il gradiente di codifica delle fasi viene ripetuto più volte con ampiezze diverse ottenendo una risoluzione lungo y data da:

Δk_y= γΔGpT_p = incremento di k_y durante l’applicazione di Gp (T_p è la durata del gradiente e non varia per ogni Gp inviato)

Per N campioni equispaziati nel FOV la risoluzione nella direzione della codifica delle fasi è:

Δy = 2П/(N γΔGpT_p)

La risoluzione spaziale lungo y è grande per elevati campionamenti e per importanti variazioni del gradiente di codifica delle fasi.