{"id":483,"date":"2012-02-04T23:32:00","date_gmt":"2012-02-04T22:32:00","guid":{"rendered":"http:\/\/andreaforneris.com\/web\/?p=483"},"modified":"2022-02-04T23:33:38","modified_gmt":"2022-02-04T22:33:38","slug":"fid-e-spazio-k","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/fid-e-spazio-k\/","title":{"rendered":"FID e Spazio K"},"content":{"rendered":"\n

FID<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La variazione temporale del vettore di magnetizzazione M<\/strong> d\u00e0 luogo a un flusso magnetico variabile che, a sua volta, secondo la legge di Faraday, induce una forza elettromotrice e quindi un flusso di campo elettrico. Se tale flusso elettrico attraversa una bobina detettrice (antenna), di perimetro l e superficie s, in essa compare una tensione V(t) data da:<\/p>\n\n\n\n

V(t) = \u222bl<\/sub> E<\/strong>\u2219dl= – d\/dt \u222bs<\/sub>B<\/strong>\u2219ds<\/p>\n\n\n\n

Dove il primo termine indica un integrale su linea chiusa e il secondo un integrale di superficie. La tensione V(t) pu\u00f2 essere amplificata e demodulata per ottenere il segnale di risonanza magnetica nucleare, detto FID, Free Induction Decay (segnale di induzione libera). Il FID contiene tutte le informazioni del sistema di spin essendo la Trasformata di Fourier dello spettro di assorbimento dei protoni. Vediamo in che modo di ottiene il FID e come da esso si risale all\u2019immagine finale.<\/p>\n\n\n\n

Gradienti di campo magnetico<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Tutti i moti periodici, e quindi anche la precessione dei protoni e del vettore di magnetizzazione, sono descritti da tre parametri: ampiezza, frequenza di oscillazione e fase. Questi tre elementi forniscono, in risonanza magnetica, informazioni circa la densit\u00e0 protonica e la posizione dei protoni nel volume di campione studiato.<\/p>\n\n\n\n

Applicando, oltre al campo magnetico statico, campi oscillanti (creati con impulsi RF) e campi magnetici di bassa intensit\u00e0, variabili linearmente, detti gradienti<\/strong>, si ottengono delle variazioni del segnale protonico in termini di frequenza e fase utili per ricostruire l\u2019immagine finale.<\/p>\n\n\n\n

I gradienti impiegati sono: gradiente di selezione della sezione (Gs), gradiente di codifica di frequenza (gradiente di imaging, Gf), gradiente di codifica di fase (Gp). Il primo tipo di gradiente consente di scomporre il volume campione in fette (slice) di spessore desiderato, mentre i due gradienti di codifica, ortogonali tra loro, individuano la posizione dei protoni nella sezione sulla base della loro frequenza e della loro fase.<\/p>\n\n\n\n

Nella metodica RM sono impiegati anche degli impulsi RF che hanno l\u2019effetto di ruotare M <\/strong>di angoli desiderati, citiamo tra questi il cos\u00ec detto impulso \u041f\/2 che fa ruotare di 90\u00b0 la magnetizzazione, e l\u2019impulso \u041f, detto impulso di rifocalizzazione delle fasi, che, ruotando di 180\u00b0 il vettore di magnetizzazione, riporta in fase gli spin che, per effetto della precessione e delle disomogeneit\u00e0 del materiale (effetto T2*), si erano sfasati.<\/p>\n\n\n\n

Codifica spaziale<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La selezione della fetta viene effettuata associando ad un impulso rf (Bosc<\/sub> ) il cos\u00ec detto gradiente di selezione della sezione Gs. L\u2019effetto di tale gradiente \u00e8 quello di modificare il campo magnetico complessivo e, conseguentemente, la frequenza di Larmor dei protoni della fetta eccitata, essendo:<\/p>\n\n\n\n

f = \u03b3Beff <\/sub>= \u03b3 (B + Bosc<\/sub>+ Gs ) frequenza di Larmor<\/p>\n\n\n\n

Sapendo in quale area del volume \u00e8 stato applicato il gradiente e misurando il segnale di ritorno \u00e8 possibile assegnare al segnale una posizione nel campione e, nello stesso tempo, avere una misura della densit\u00e0 protonica in una ben precisa fetta del materiale. Lo spessore della slice selezionata dipende dall\u2019intensit\u00e0 del gradiente di selezione Gs e dal range di frequenze (banda) dell\u2019impulso RF: esso \u00e8 direttamente proporzionale alla banda e inversamente proporzionale all\u2019intensit\u00e0 del gradiente.<\/p>\n\n\n\n

Codifica di frequenza e di fase<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Consideriamo una slice eccitata: di essa vogliamo ottenere una rappresentazione in termine di fase e frequenza protonica.<\/p>\n\n\n\n

Se la slice si trova sul piano xy si pu\u00f2 pensare di applicare un gradiente Gf, detto gradiente di codifica di frequenza, lungo l\u2019asse x . In tal modo si producono delle variazioni in frequenza lungo x, tali non incidere sul segnale misurato in termini di ampiezza.<\/p>\n\n\n\n

\"grad_freq.jpg\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Lungo la direzione di Gs si hanno variazioni di frequenza<\/p>\n\n\n\n

Facendo seguire il gradiente di codifica delle frequenze da un gradiente di codifica delle fasi Gp, orientato lungo y, ripetuto pi\u00f9 volte con ampiezze diverse, si crea uno shift delle fasi lungo y. Gp deve essere preceduto, a sua volta, da un impulso di rifocalizzazione delle fasi (gradiente \u041f).<\/p>\n\n\n\n

\"grad_fasi.jpg\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Lungo Gp si hanno variazioni delle fasi<\/p>\n\n\n\n

Grazie ai gradienti di codifica, pertanto, ogni protone della slice eccitata viene descritto da una coppia di numeri indicanti la sua fase e le sua frequenza, tali numeri costituiscono insieme un numero complesso e possono essere raccolti in uno spazio 2D detto spazio k.<\/p>\n\n\n\n

Spazio k<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Lo spazio k \u00e8 uno spazio geometrico bidimensionale in cui ogni elemento \u00e8 costituito da un numero complesso (Ae\u03c6+j\u03c9t<\/sup>= Re + jIm), rappresentato da una frequenza \u03c9 e una fase \u03c6 (A=ampiezza). Ogni riga \u00e8 relativa alla frequenza, ogni colonna invece d\u00e0 informazioni sulla fase.<\/p>\n\n\n\n

\"k%20spazio.jpg\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Spazio k<\/p>\n\n\n\n

Non c\u2019\u00e8 una corrispondenza diretta tra lo spazio k e lo spazio fisico. Nel k spazio i dati di ogni eco sono organizzati in base al loro contenuto informativo: i punti a maggior contrasto (ottenuti con gradienti di codifica di fase deboli) si trovano al centro, i punti con livello di dettaglio fine (ottenuti con forti gradienti di fase) si collocano nella zona periferica. Al crescere del tempo, il segnale evolve descrivendo una traiettoria nello spazio k, quindi con opportuni gradienti \u00e8 possibile fare in modo che il segnale segua una traiettoria desiderata.<\/p>\n\n\n\n

Se fosse possibile utilizzare tutti i punti dello spazio k potremmo risalire con esattezza all\u2019immagine finale utilizzando una Trasformata di Fourier bidimensionale. In realt\u00e0 gli elementi dello spazio k vengono campionati, demodulati e digitalizzati per cui il processore del sistema RM esegue una Trasformata di Fourier discreta e bidimensionale<\/strong>, discreta perch\u00e9 i dati da elaborare sono digitali (bit) e bidimensionale perch\u00e9 viene eseguita dapprima lungo l\u2019asse di codifica delle fasi e successivamente lungo l\u2019asse di codifica delle frequenze per la parte reale e quella immaginaria dello spazio k. Le informazioni ricavate da queste elaborazioni consentono di calcolare l\u2019ampiezza del segnale la cui rappresentazione grafica corrisponde all\u2019immagine finale.<\/p>\n\n\n\n

\"campionamento_kspazio.jpg\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Lo spazio k viene campionato: solo le righe bianche vengono usate per creare l’immagine.<\/p>\n\n\n\n

Re(spazio k)<\/strong> Im(spazio K)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"fourier2.jpg\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Trasformata di Fourier (FT) 2D<\/p>\n\n\n\n

\"fourier3.jpg\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Dalle due coppie di FT si ricava l’immagine finale<\/p>\n\n\n\n

Risoluzione dell\u2019immagine<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Durante l\u2019applicazione del gradiente di codifica in frequenza, Gf, si ottiene il campionamento di una linea dello spazio k, pi\u00f9 precisamente abbiamo:<\/p>\n\n\n\n

kx<\/sub>= \u03b3 Gf tf<\/sub> (unit\u00e0 di misura: rad\/m)<\/p>\n\n\n\n

dove \u03b3 \u00e8 il rapporto giromagnetico, Gf il modulo del gradiente di codifica di frequenza, e tf<\/sub> indica il tempo di applicazione di Gf<\/p>\n\n\n\n

Per ottenere altre righe dello spazio k occorre applicare un gradiente di codifica di fase, Gp, preceduto dall\u2019impulso \u041f. Le coordinate ky<\/sub> dello spazio k sono pertanto:<\/p>\n\n\n\n

ky<\/sub>= \u03b3GpTp<\/sub><\/p>\n\n\n\n

dove Tp<\/sub> indica la durata del gradiente di codifica di fase, Gp \u00e8 il modulo del gradienteGp<\/p>\n\n\n\n

La risoluzione (\u0394kx<\/sub> , \u0394ky<\/sub>) con cui si osserva lo spazio k dipende dalla velocit\u00e0 di campionamento del segnale: aumentando la velocit\u00e0 , a parit\u00e0 di tempo, si ottengono pi\u00f9 dati ravvicinati tra loro. Solitamente il range in cui lo spazio viene campionato (nel caso di eco simmetrica) \u00e8 dato da:<\/p>\n\n\n\n

– \u03b3\/2 Gf tf<\/sub> \u2264 kx<\/sub> \u2264 \u03b3\/2 Gf tf<\/sub><\/p>\n\n\n\n

– \u03b3\/2GpTp<\/sub> \u2264 ky<\/sub> \u2264 \u03b3\/2GpTp<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Tale limitazione serve a garantire tempi di acquisizione contenuti, occupazione di memoria del processore limitata, oltre che il campionamento di un segnale poco rumoroso.<\/p>\n\n\n\n

L\u2019immagine derivante dal campionamento dello spazio k ha una dimensione data dal cos\u00ec detto FOV (field of view), range di ricostruzione dell\u2019immagine, ed \u00e8 costituita da una matrice di elementi detti pixel . La risoluzione del FOV dipende da come viene effettuato il campionamento. Pi\u00f9 precisamente:<\/p>\n\n\n\n

FOVx<\/sub>= 2\u041f\/ \u0394kx<\/sub><\/p>\n\n\n\n

FOVy<\/sub>= 2\u041f\/ \u0394ky<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Da ci\u00f2 si desume che a campionamenti fini corrispondono FOV grandi e, viceversa, se si riduce il FOV aumenta la distanza tra i campioni dello spazio k. Come abbiamo gi\u00e0 detto, durante l\u2019applicazione del gradiente di codifica di frequenza viene campionata una riga dello spazio k (corrispondente ad una eco), per cui ogni elemento campionato kx<\/sub> ad un generico tempo t \u00e8 dato da:<\/p>\n\n\n\n

kx<\/sub>= \u222b0t\u03b3Gf(t) dt<\/p>\n\n\n\n

da cui:<\/p>\n\n\n\n

\u0394kx<\/sub>= \u03b3Gf\u0394t = incremento di kx nel tempo \u0394t (Gf costante, \u0394t = tempo di campionamento)<\/p>\n\n\n\n

La risoluzione lungo x dipende pertanto dall\u2019intensit\u00e0 del gradiente di codifica di frequenza e dal tempo di campionamento. Se i campioni sono N, il range di campionamento \u00e8 dato da N \u0394kx<\/sub>, inoltre se gli N campioni sono punti equispaziati nel FOV, la risoluzione nella direzione della codifica delle frequenze \u00e8:<\/p>\n\n\n\n

\u0394x = 2\u041f\/(N \u03b3Gf\u0394t)<\/p>\n\n\n\n

Per ottenere una buona risoluzione spaziale lungo x occorrono molti campioni (N), tempi di campionamento lunghi (\u0394t ) e gradienti Gf intensi .<\/p>\n\n\n\n

Nell\u2019imaging basato sulla trasformata di Fourier 2D il gradiente di codifica delle fasi viene ripetuto pi\u00f9 volte con ampiezze diverse ottenendo una risoluzione lungo y data da:<\/p>\n\n\n\n

\u0394ky<\/sub>= \u03b3\u0394GpTp<\/sub> = incremento di ky <\/sub>durante l\u2019applicazione di Gp (Tp<\/sub> \u00e8 la durata del gradiente e non varia per ogni Gp inviato)<\/p>\n\n\n\n

Per N campioni equispaziati nel FOV la risoluzione nella direzione della codifica delle fasi \u00e8:<\/p>\n\n\n\n

\u0394y = 2\u041f\/(N \u03b3\u0394GpTp<\/sub>)<\/p>\n\n\n\n

La risoluzione spaziale lungo y \u00e8 grande per elevati campionamenti e per importanti variazioni del gradiente di codifica delle fasi.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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