{"id":63,"date":"2012-10-31T09:34:59","date_gmt":"2012-10-31T08:34:59","guid":{"rendered":"http:\/\/andreaforneris.com\/web\/?p=63"},"modified":"2019-10-31T09:35:31","modified_gmt":"2019-10-31T08:35:31","slug":"il-vettore-di-magnetizzazione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/il-vettore-di-magnetizzazione\/","title":{"rendered":"Il vettore di magnetizzazione"},"content":{"rendered":"\n

Vettore di magnetizzazione<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Abbiamo visto il fenomeno della risonanza per ogni singolo protone , \nconsideriamo ora l\u2019effetto risultante dalla combinazione di pi\u00f9 atomi di\n idrogeno. In assenza di un campo magnetico esterno i protoni dell\u2019 \nidrogeno hanno spin orientati in maniera casuale e indipendente tra di \nloro ma in presenza di un forte campo magnetico B<\/strong> i loro momenti magnetici tendono a orientarsi in modo parallelo o antiparallelo rispetto a B<\/strong>.\n In base alla meccanica quantistica, si avr\u00e0 un leggero eccesso di \nmomenti magnetici lungo una direzione rispetto ad un\u2019altra, in \nparticolare si avr\u00e0 un maggior numero di atomi con il momento magnetico \nparallelo al campo magnetico esterno (I=1\/2).<\/p>\n\n\n\n

\"spin_disallineati2.jpg\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Spin disallineati in assenza di una campo magnetico esterno<\/p>\n\n\n\n

\"spin_allineati2.jpg\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Spin allineati ad un campo magnetico esterno B<\/p>\n\n\n\n

Chiamiamo N1 la popolazione di nuclei con spin orientato secondo il verso di B<\/strong>,\n E1 il livello energetico corrispondente, e N2 la popolazione di nuclei \ncon spin antiparallelo a B, E2 il loro livello energetico. N1 \u00e8 \nsuperiore a N2 , mentre E1 \u00e8 minore di E2 . Possiamo sfruttare la legge \ndi distribuzione di Boltzmann per conoscere la distribuzione degli \natomi:<\/p>\n\n\n\n

N2 \/ N1 = e-\u0394E \/ K \u00b0T<\/sup><\/p>\n\n\n\n

dove K \u00e8 la costante di Boltzmann, \u00b0T \u00e8 la temperatura assoluta e \u0394E = E2- E1 \u00e8 la differenza di energia tra i due livelli.<\/p>\n\n\n\n

Osservando la legge di Boltzmann si evince che il caso limite N1=N2 \nsi pu\u00f2 ottenere solo per valori infiniti della temperatura del sistema \ndi spin il che equivale alla mancanza di equilibrio termodinamico tra il\n sistema di spin e l\u2019ambiente (reticolo): in questo caso il sistema di \nspin acquisisce un accumulo di energia che viene ceduto al reticolo \n(ambiente circostante) secondo le leggi della termodinamica.<\/p>\n\n\n\n

Si definisce vettore di magnetizzazione M<\/strong> la somma vettoriale di tutti i momenti magnetici \u00b5<\/strong> dei singoli atomi sottoposti ad un campo magnetico esterno B<\/strong> per unit\u00e0 di volume:<\/p>\n\n\n\n

M<\/strong>= \u03a3\u03bc<\/strong>\/V<\/p>\n\n\n\n

\"m.jpg\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Vettore di magnetizzazione<\/p>\n\n\n\n

Per effetto di B<\/strong>, M<\/strong> tende a ruotare e a variare in modulo seguendo un\u2019evoluzione temporale proporzionale al prodotto vettoriale tra M e B:<\/p>\n\n\n\n

dM\/dt=\u03b3 M x B<\/p>\n\n\n\n

dove \u03b3 \u00e8 una costante chiamata rapporto giromagnetico.<\/p>\n\n\n\n

Scomponendo l\u2019equazione vettoriale si ottengono tre equazioni scalari:<\/p>\n\n\n\n

dMx\/dt= \u03b3 (MyBz-MzBy)<\/p>\n\n\n\n

dMy\/dt= \u03b3 (MzBx-MxBz)<\/p>\n\n\n\n

dMz\/dt= \u03b3 (MxBy-MyBx)<\/p>\n\n\n\n

Queste equazioni non tengono conto di un fattore importante detto \nrilassamento, ossia la tendenza del sistema di spin a tornare \nall\u2019equlibrio termico attraverso scambi di energia e di momento con \nl’ambiente circostante (reticolo). Tale effetto \u00e8 incluso nelle equazioni di Bloch<\/strong>, dette fenomenologiche in quanto dedotte dall\u2019osservazione empirica del fenomeno:<\/p>\n\n\n\n

dMx\/dt= \u03b3 (MyBz – MzBy) – Mx\/T2<\/p>\n\n\n\n

dMy\/dt= \u03b3 (MzBx – MxBz) – My\/T2<\/p>\n\n\n\n

dMz\/dt= \u03b3 (MxBy – MyBx) – (Mz-Mo)\/T1<\/p>\n\n\n\n

T2e T1 sono costanti di tempo chiamate rispettivamente tempo di \nrilassamento trasversale (o di rilassamento spin-spin) e tempo di \nrilassamento longitudinale (o di rilassamento spin-reticolo). T2 indica \nil tempo necessario affinch\u00e9 la componente di magnetizzazione \ntrasversale si annulli per effetto delle interazioni tra i momenti \nmagnetici dei singoli nuclei che portano gli spin atomici a perdere di \ncoerenza e quindi a sfasarsi.<\/p>\n\n\n\n

T1 indica il tempo durante il quale la componente longitudinale della\n magnetizzazione torna al suo valore iniziale di equilibrio in virt\u00f9 dei\n trasferimenti di energia che avvengono tra il sistema di spin ed il \nresto dell’ambiente. Bloch osserv\u00f2 che la magnetizzazione torna \nall’equilibrio termico con una cinetica di recupero esponenziale.<\/p>\n\n\n\n

\tPrecessione della magnetizzazione<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Consideriamo le equazioni di Bloch applicate ad un sistema di spin \nnucleari o protonici. Nel caso in cui i tempi di rilassamento T1e T2di \ndetto sistema siano molto lunghi si pu\u00f2 trascurare l\u2019effetto \ndell\u2019interazione spin-reticolo, pertanto le equazioni si semplificano:<\/p>\n\n\n\n

dMx\/dt = \u03b3 (MyBz-MzBy)<\/p>\n\n\n\n

dMy\/dt = \u03b3 (MzBx-MxBz)<\/p>\n\n\n\n

dMz\/dt = \u03b3 (MxBy-MyBx)<\/p>\n\n\n\n

Se il campo magnetico B<\/strong> \u00e8 statico ed ha solo una componente lungo l\u2019asse z (Bx = By = 0) le equazioni si riducono a:<\/p>\n\n\n\n

dMx\/dt = \u03b3 MyBz<\/p>\n\n\n\n

dMy\/dt = – \u03b3 MxBz<\/p>\n\n\n\n

dMz\/dt = 0<\/p>\n\n\n\n

Derivando la prima equazione rispetto al tempo e accoppiandola alla seconda si ottiene:<\/p>\n\n\n\n

d2<\/sup>Mx\/dt2<\/sup> = \u03b3 dMy\/dt Bz = – \u03b32 <\/sup>MxBz2<\/sup><\/p>\n\n\n\n

Per risolvere questa equazione differenziale lineare omogenea occorre\n scegliere il valore di Mx e My al tempo zero. Possiamo scegliere gli \nassi x e y in modo tale che al tempo zero si abbiano:<\/p>\n\n\n\n

Myo=0<\/p>\n\n\n\n

Mxo \u22600<\/p>\n\n\n\n

In questo caso si hanno:<\/p>\n\n\n\n

Mx=Mxocos \u03c9ot<\/p>\n\n\n\n

My=Mxosin \u03c9ot<\/p>\n\n\n\n

dove \u03c9o= \u03b3Bz<\/p>\n\n\n\n

Da tali relazioni si deduce che il vettore di magnetizzazione ruota \nattorno all’asse del campo magnetico (assunto lungo la direzione z), con\n una frequenza angolare pari a \u03c9o= \u03b3Bz .Tale moto \u00e8 noto con il nome di \nprecessione e indica la tendenza del vettore M ad allinearsi a B.<\/p>\n\n\n\n

\tRilassamento<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La rilevazione di M <\/strong>si pu\u00f2 ottenere perturbando B<\/strong> con un piccolo campo magnetico oscillante B<\/strong>osc<\/sub>, ottenibile con un segnale a radiofrequenza. Dalla combinazione vettoriale di B<\/strong> (campo di polarizzazione) e B<\/strong>osc<\/sub> (campo di eccitazione ) si ottiene un campo magnetico complessivo oscillante con per cui anche M<\/strong> oscilla eseguendo una precessione rispetto al campo magnetico di partenza B<\/strong>. L\u2019angolo di rotazione di M <\/strong>rispetto a B<\/strong>\n \u00e8 detto flip angle (\u03b1) e dipende dall\u2019energia assorbita dai nuclei e \nquindi dall\u2019intensit\u00e0 e dalla durata del campo perturbante B<\/strong>osc<\/sub>.\n Il flip angle pu\u00f2 assumere valori diversi in base alla frequenza del \ncampo oscillante e alla sua durata. Ci sono due casi particolari utili \nnelle indagini di risonanza magnetica: l\u2019impulso a 90\u00b0 (\u03b1 =90\u00b0) e \nl\u2019impulso a 180\u00b0 detto anche impulso di inversione o impulso pigreco \n(\u03b1=180\u00b0). In quest\u2019ultimo caso una parte dei nuclei della popolazione N1\n acquista una quantit\u00e0 di energia tale da far cambiare direzione ai \npropri momenti magnetici \u03bc<\/strong>. In generale si pu\u00f2 \naffermare che l\u2019applicazione di un campo perturbante fa s\u00ec che gli atomi\n acquistino un eccesso energetico correlato a un\u2019alterazione di M<\/strong>.\n Terminata la perturbazione avviene il rilassamento, ossia si \nristabilisce l’equilibrio termico di partenza tra gli spin degli atomi e\n il campo magnetico principale, mentre il vettore M<\/strong> tende nuovamente ad allinearsi a B<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Una misura di M<\/strong> si pu\u00f2 ottenere in laboratorio ponendo una fiala contenente acqua in un forte campo magnetico B<\/strong>\n (ortogonalmente ad esso) e avvolgendola con una piccola bobina percorsa\n da una corrente velocemente variabile gestita da un oscillatore. Per la\n legge dell\u2019induzione magnetica la corrente che attraversa la bobina \ngenera un campo magnetico che, al variare della corrente, oscilla con \nfrequenze angolari \u03c9o diverse. Si collega poi al sistema un \noscilloscopio (ricevitore a radiofrequenza) per registrare le risposte \ndei protoni alle sollecitazioni. Quando il campo magnetico generato \ndalla bobina \u00e8 tale per cui \u03c9o = \u03c9protone si ha la risonanza: molti \nprotoni tendono a capovolgersi assorbendo energia, le variazioni della \ncomponente trasversale di M<\/strong> si vanno a concatenare alla\n bobina, inducendo in essa una piccola forza elettromotrice che oscilla \nalla frequenza di Larmor e all\u2019oscilloscopio appare un picco di segnale.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Vettore di magnetizzazione Abbiamo visto il fenomeno della risonanza per ogni singolo protone , consideriamo ora l\u2019effetto risultante dalla combinazione di pi\u00f9 atomi di idrogeno. In assenza di un campo magnetico esterno i protoni dell\u2019 idrogeno hanno spin orientati in maniera casuale e indipendente tra di loro ma in presenza di un forte campo magnetico…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[4],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/63"}],"collection":[{"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=63"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/63\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":64,"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/63\/revisions\/64"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=63"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=63"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/andreaforneris.com\/web\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=63"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}